如何证明根号 2 是无理数

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本文是对《牛津通识读本:数学》书中【根号2的无理性】这一节内容的摘录。微信读书 对数学公式的排版不够友好,本文对其中存在缺陷的地方进行了修正。


前提

一个数如果可以写成分数 p/q (其中 pq 均为整数)的形式则称为有理数,若不可以则称为无理数。


证明

我们通过反证法来证明 \sqrt2 是无理数,即先假设它是有理数,然后表明这一假设会推出矛盾。

  1. 如果 \sqrt2 是有理数,那么我们可以找到整数 pq 使得 \sqrt2=p/q(根据“有理数”的定义)
  2. 任意分数 p/q 都能够写成某个分数 r/s,其中 rs 不全是偶数(分子分母连续除以 2,直到至少有其中一个变成奇数。)
  3. 因此,如果 \sqrt2 是有理数,我们就可以找到两个不全为偶数的整数 rs 使得 \sqrt2=r/s
  4. 如果 \sqrt2=r/s,则 2=r^2/s^2(等式两端平方)
  5. 如果 2=r^2/s^2,则 2s^2=r^2(等式两端乘以 s^2
  6. 如果 2s^2=r^2,则 r^2 是偶数,即 r 必须是偶数
  7. 如果 r 是偶数,那么存在某个整数 t 使得 r=2t(由“偶数”的定义)
  8. 如果 2s^2=r^2r=2t,则 2s^2=(2t)^2=4t^2 ,于是得到 s^2=2t^2(两端除以 2)
  9. 如果 s^2=2t^2,那么 s^2 是偶数,意味着 s 是偶数
  10. 按照 \sqrt2 是有理数的假设,我们已经表明 \sqrt2=r/srs 不全是偶数(第 3 步)
  11. 我们之后又得到 r 是偶数(第 6 步),s 是偶数(第 9 步)
  12. 这是一个明显的矛盾。因为 \sqrt2 是有理数的假设会推出明显错误的结论,所以这个假设本身必定是错误的。因此, \sqrt2 是无理数

完善

第 6 步中包含了 r^2 是偶数则 r 必定是偶数的论断。这看起来相当明显(奇数乘以奇数是奇数),但如果我们要想使 \sqrt2 是无理数这一命题绝对确定无疑,我们可以对第 6 步再进行证明,让我们把它分解成五个子步骤:

  1. 首先 r 是整数,当 r^2 是偶数时,我们要表明 r 必定也是偶数。让我们假设 r 是奇数,然后寻求矛盾(6a)
  2. 因为 r 是奇数,所以存在整数 t 使得 r=2t+1(6b)
  3. 于是推出 r^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1(6c)
  4. 但是 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t)+1,这是奇数,与 r^2 是偶数的说法矛盾(6d)
  5. 因此 r 是偶数(6e)

现在步骤6完全滴水不漏了吗?可能还没有,因为子步骤 6b 仍需要证明。毕竟,奇数的定义仅仅是非 2 的倍数的整数。为什么每个整数要么就是 2 的倍数,要么就比 2 的倍数多 1 呢?我们可以用以下论据来表明它。

  1. 如果某个整数 r 是 2 的倍数,或者比 2 的倍数多 1,我们就称它为一个好数。如果 r 是好数,则 r=2sr=2s+1,其中 s 也是整数。如果 r=2s,则 r+1=2s+1;如果 r=2s+1,则 r+1=2s+2=2(s+1)。不管是两种情况中的哪一种,都有 r+1 也是好数(6b1)
  2. 1 是好数,因为 0=0×2 是 2 的倍数,且 1=0+1(6b2)
  3. 重复利用 6b1 这一步,我们可以推出 2 是好数,然后 3 是好数,然后 4 是好数,等等等等(6b3)
  4. 因此,所有正整数都是好数,这正是我们要证明的结论(6b4)

讨论

我们现在完成了吗?大概这一回最不牢靠的步骤要数 6b3,因为它是从前一步“等等等等”这样十分模糊的字眼中得到。步骤 6b3 告诉我们怎样去表明任意给定的正整数 n 是好数。麻烦在于,若按照上面的论证,我们需要从 1 一直数到 n,如 n 很大的话,这就要花很长时间。如果我们想要说明所有正数都是好数,情况就更糟糕了,看起来这样的论证似乎永无束之日。但另一方面,鉴于步骤 6b1 到 6b3 实实在在、确切无疑地给我们提供了一种方法,能够说明任意的 n 都是好数(只要我们有时间),这一反对意见看起来就不合理。实际上它是如此不合理,以至于数学家们采纳了下述原则作为一条公理。

假设关于任意正整数 n 有一陈述 s(n)。(在我们的例子中, s(n) 即表示陈述“ n 是好数”。)如果 s(1) 为真,而且 s(n) 为真总蕴含 s(n+1) 为真,那么 S(n)对任意 n 都为真。

这就是数学归纳法原理,熟悉它的人也简称它为归纳法。通俗地讲,它所说的其实就是,如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明,那有一种办法:证明第一条为真,并且每一条都蕴含下一条。

上述几段内容说明了,数学论证中的每一步都可以分解成更小的,因而也更加清晰有据的子步骤。这些小步骤又可以进一步分解为子子步骤,等等。数学中有个根本性的重要事实,那就是这样的过程最终必然会终止。原则上,如果不断地将步骤分解为更小的步骤,你最终会得到一条非常长的论证,它以普遍接受的公理开始,仅通过最基本的逻辑原则(例如“若A为真且A蕴含B,则B为真”)一步步推进,最终得到想要求证的结论。


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