本文是对《牛津通识读本：数学》书中【根号2的无理性】这一节内容的摘录。微信读书 对数学公式的排版不够友好，本文对其中存在缺陷的地方进行了修正。
前提
一个数如果可以写成分数 p/q （其中 p 和 q 均为整数）的形式则称为有理数，若不可以则称为无理数。
证明
我们通过反证法来证明 \sqrt2 是无理数，即先假设它是有理数，然后表明这一假设会推出矛盾。
- 如果 \sqrt2 是有理数，那么我们可以找到整数 p 和 q 使得 \sqrt2=p/q（根据“有理数”的定义）
- 任意分数 p/q 都能够写成某个分数 r/s，其中 r 和 s 不全是偶数（分子分母连续除以 2，直到至少有其中一个变成奇数。）
- 因此，如果 \sqrt2 是有理数，我们就可以找到两个不全为偶数的整数 r 和 s 使得 \sqrt2=r/s
- 如果 \sqrt2=r/s，则 2=r^2/s^2（等式两端平方）
- 如果 2=r^2/s^2，则 2s^2=r^2（等式两端乘以 s^2）
- 如果 2s^2=r^2，则 r^2 是偶数，即 r 必须是偶数
- 如果 r 是偶数，那么存在某个整数 t 使得 r=2t（由“偶数”的定义）
- 如果 2s^2=r^2 且 r=2t，则 2s^2=(2t)^2=4t^2 ，于是得到 s^2=2t^2（两端除以 2）
- 如果 s^2=2t^2，那么 s^2 是偶数，意味着 s 是偶数
- 按照 \sqrt2 是有理数的假设，我们已经表明 \sqrt2=r/s，r 和 s 不全是偶数（第 3 步）
- 我们之后又得到 r 是偶数（第 6 步），s 是偶数（第 9 步）
- 这是一个明显的矛盾。因为 \sqrt2 是有理数的假设会推出明显错误的结论，所以这个假设本身必定是错误的。因此， \sqrt2 是无理数
完善
第 6 步中包含了 r^2 是偶数则 r 必定是偶数的论断。这看起来相当明显（奇数乘以奇数是奇数），但如果我们要想使 \sqrt2 是无理数这一命题绝对确定无疑，我们可以对第 6 步再进行证明，让我们把它分解成五个子步骤：
- 首先 r 是整数，当 r^2 是偶数时，我们要表明 r 必定也是偶数。让我们假设 r 是奇数，然后寻求矛盾（6a）
- 因为 r 是奇数，所以存在整数 t 使得 r=2t+1（6b）
- 于是推出 r^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1（6c）
- 但是 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t)+1，这是奇数，与 r^2 是偶数的说法矛盾（6d）
- 因此 r 是偶数（6e）
现在步骤6完全滴水不漏了吗？可能还没有，因为子步骤 6b 仍需要证明。毕竟，奇数的定义仅仅是非 2 的倍数的整数。为什么每个整数要么就是 2 的倍数，要么就比 2 的倍数多 1 呢？我们可以用以下论据来表明它。
- 如果某个整数 r 是 2 的倍数，或者比 2 的倍数多 1，我们就称它为一个好数。如果 r 是好数，则 r=2s 或 r=2s+1，其中 s 也是整数。如果 r=2s，则 r+1=2s+1；如果 r=2s+1，则 r+1=2s+2=2(s+1)。不管是两种情况中的哪一种，都有 r+1 也是好数（6b1）
- 1 是好数，因为 0=0×2 是 2 的倍数，且 1=0+1（6b2）
- 重复利用 6b1 这一步，我们可以推出 2 是好数，然后 3 是好数，然后 4 是好数，等等等等（6b3）
- 因此，所有正整数都是好数，这正是我们要证明的结论（6b4）
讨论
我们现在完成了吗？大概这一回最不牢靠的步骤要数 6b3，因为它是从前一步“等等等等”这样十分模糊的字眼中得到。步骤 6b3 告诉我们怎样去表明任意给定的正整数 n 是好数。麻烦在于，若按照上面的论证，我们需要从 1 一直数到 n，如 n 很大的话，这就要花很长时间。如果我们想要说明所有正数都是好数，情况就更糟糕了，看起来这样的论证似乎永无束之日。但另一方面，鉴于步骤 6b1 到 6b3 实实在在、确切无疑地给我们提供了一种方法，能够说明任意的 n 都是好数（只要我们有时间），这一反对意见看起来就不合理。实际上它是如此不合理，以至于数学家们采纳了下述原则作为一条公理。
假设关于任意正整数 n 有一陈述 s(n)。（在我们的例子中， s(n) 即表示陈述“ n 是好数”。）如果 s(1) 为真，而且 s(n) 为真总蕴含 s(n+1) 为真，那么 S(n)对任意 n 都为真。
这就是数学归纳法原理，熟悉它的人也简称它为归纳法。通俗地讲，它所说的其实就是，如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明，那有一种办法：证明第一条为真，并且每一条都蕴含下一条。
上述几段内容说明了，数学论证中的每一步都可以分解成更小的，因而也更加清晰有据的子步骤。这些小步骤又可以进一步分解为子子步骤，等等。数学中有个根本性的重要事实，那就是这样的过程最终必然会终止。原则上，如果不断地将步骤分解为更小的步骤，你最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则（例如“若A为真且A蕴含B，则B为真”）一步步推进，最终得到想要求证的结论。
赏
